이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다.문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 오일러 방정식 (문단 편집) === 벨트라미 항등식 === 오일러 방정식을 풀 때, 위의 예제처럼 [math( f )]가 [math( y', x )]만의 함수이고, [math( y )]와는 독립일 경우 첫째 항 [math( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} )]가 사라지기 때문에 풀기 쉽다. 한편, [math( f )]가 [math( y, y')]만의 함수이고 [math( x )]는 들어가지 않을 때, 즉 [math( f(y,y') )]일 때도 쉽게 변형해서 푸는 방법이 있는데, 이를 [[벨트라미 항등식]](Beltrami identity)라고 한다. [math( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0 )]일 때, 오일러 방정식은 다음 방정식과 동치이다. > [math( \displaystyle f - y' \frac{\partial f}{\partial y' } = \mathsf{constant})] > (벨트라미 항등식) 참고로, 좌변은 [math( f )]를 [math( y' )]에 대해 [[르장드르 변환]]한 것이다. {{{#!folding [ 증명 보기 · 숨기기 ] [math( f )]는 [math( y,y' )]의 함수이다. 따라서 [[연쇄 법칙]]에 의해 || \displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y'} \frac{dy'}{dx} = y' \frac{\partial f}{\partial y} + y'' \frac{\partial f}{\partial y'} || 한편, [math( \displaystyle y' \frac{\partial f}{\partial y'} )]를 [math( x )]로 미분하면 곱의 미분법에 의해 || \displaystyle \frac{d}{dx} \left( y' \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = y'' \frac{\partial f}{\partial y'} + y' \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} || 위 두 식에서 [math(y'' \frac{\partial f}{\partial y'})]를 소거하면 || \displaystyle \frac{d}{dx} \left( y' \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = \frac{df}{dx} - y' \frac{\partial f}{\partial y} + y' \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} || 여기서 마지막 두 항은 [math( y' )]으로 묶을 수 있다. 정리하면 || \displaystyle \frac{d}{dx} \left( f - y' \frac{\partial f}{\partial y'} \right) - y' \left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = 0 || 그런데 마지막 괄호 안에 있는 식은 오일러 방정식이랑 똑같은 모양이다! 따라서 괄호 안은 0이 되어서 사라진다. 남은 항을 [math(x)]로 적분하면 증명이 끝난다. || [math( \displaystyle f - y' \frac{\partial f}{\partial y' } = \mathsf{constant})] || }}} 참고로 이 식의 [math(f)]에다가 [[라그랑지언]] [math(\mathscr L)]을 대입하면 이는 [[해밀토니언]] [math(\mathcal H)]의 정의가 된다! 따라서 이는 해밀토니언이 보존된다는 결과를 의미한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기